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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 HW Ct8l3  
A0C .c  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. eF*pU{R  
;BC]Acu  
　　1、三角函数本质： q"J!t ;  
n]AI/ A}6=  
　　三角函数的本质来源于定义 r=t)P~2r  
(BTyX  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <Ogop)KT  
4Gm_E;DX  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 KwHLl^w  
mNNY`{8;|  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ]8 `Wx]  
x"[/Bm,8  
　　推导： v_e A|kO  
!nhM G kF  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 h 14VSn|  
1UK4^PlP  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) b,i$vtb]  
*%p &V|  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) R3Q Ubh  
 ]TP. |R)  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Z/[]P!MV  
YU"w&A5O  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 8)9a\0@I(  
ttJQU}{=%  
　　[1] -`MAj[/}  
^V243w*Tn  
　　两角和公式 YwBucx6`OO  
z\uN&Oo[  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB _<KSG6ZT  
ce2% mlz3  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  &5/ AS5 a  
uzm9p4z1o  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB X6yH>XyP  
\1Ly~-S]  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB =@ Ei'dzN?  
YYz s[;  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) yGw0q=J  
Kkq<`s:,  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) xEwE;.fF  
+b6*{&>  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  bF#0ya?fy  
];ge%PwT  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) N{{s8  
DW+}t(b[  
倍角公式 h5YcF/71  
c`Y5@~  
　　Sin2A=2SinA•CosA ~QzuokS:  
;]_.Yg[$  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 +Y&Ul=q@  
gu+HlPML  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） M_0f^7C  
^n2B.>0fS  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） JvdUq0  
,8'g U)rg  
三倍角公式 D k06>B  
* l x@  
　　 ~ 9TU?  
,P4T6bL  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) L)mnb*~k  
~cD EJQley  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) q #Y1O]%h  
/U McPinf  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Y.WWjx6M  
Q-IQLsO/  
三倍角公式推导 46]8TqS4  
Hq>-jC@QR  
　　sin3a u\E`Ex  
e7K-6NmZ}  
　　=sin(2a+a) h8JVru  
um!cA2  
　　=sin2acosa+cos2asina ;pcS1=D-  
Cv<,;  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina V\Qc +yP+  
d#?#ae ho  
　　=3sina-4sin³a @B9^Y"X@  
c,s^4-w  
　　cos3a '!]r wAa&  
LFa42IO  
　　=cos(2a+a) Wc9:?0A+s  
o4|wzn  
　　=cos2acosa-sin2asina ]p8A % ?+  
^0^m-a=  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa T8A17^1Du  
C2 cDIU  
　　=4cos³a-3cosa aa:AU_l  
~rd\c7ad]  
　　sin3a=3sina-4sin³a V?9|\ Ms  
*q)/e 6(D"  
　　=4sina(3/4-sin²a) 6)w [}=?V  
8c"$&g&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] QBdoYPL3  
P H" <WR  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 5b4:L)3  
;; oghYw  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) etJ(>hUpz  
{,b{|   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] m#`u^:1Q  
^i=`.-V-B  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) pla; fB$  
7RI,p/[6s4  
　　cos3a=4cos³a-3cosa <?z ~B _  
?95`fE/  
　　=4cosa(cos²a-3/4) aY({B-j\*  
jMcu /D  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] &*p>Aix;t  
4a:aeG.!  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) E=vAv) ,b  
)EH`r6v  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) .`%[jSj4  
h)q=VZ8q:  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 7zY"a'54  
E4,6amD?  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ?vnvlAo:  
DI#(k/ h~o  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] h 5_6k;j  
qter2ypx  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] G)vDl-P^  
/_$JB|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) '"cl)}[`q  
MH''tC_J@  
　　上述两式相比可得 ey6 eZBz  
V,+c ~  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  6 @c  
dDg>?4pn  
半角公式 }Qo{7AJUM&  
A~&Fs-;d'e  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 9t(Pq %K  
+R? %XbW  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. H|Esn*@xd  
Af%LN!(  
和差化积 JL4w.8  
!z/Itd]=L  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <! q o  
h`oF.e1o/Z  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {{6e6;8M  
[5B[P] +Z  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] z&D l4V~  
O+u#J$.[  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )}j`;n#J  
GB@#P  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) DkFBUc]  
km=-(I  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) EU<#I&mz~  
pM'%HW$[Hz  
积化和差 (f?Nzy  
 9$(k1oB  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] C^%Z8@?  
7'w !D[}X  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] *_z(Ws0d  
scPy%oi  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ;<(#1$V  
t9'aLd  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] X|CcKR22]  
6Q>DoTvR9  
诱导公式 y*d-e c|  
O(fM)4q[  
　　sin(-α) = -sinα m{S_kY4y  
j1 5M>A3  
　　cos(-α) = cosα Qx70g*  
49{c)~[[  
　　sin(π/2-α) = cosα &enGj%!9  
CGUOy$!V  
　　cos(π/2-α) = sinα Dt1Or$R  
{}-S, m@~/  
　　sin(π/2+α) = cosα t\DjE  
fH#~  
　　cos(π/2+α) = -sinα 1k > DI89  
EZJZb^}  
　　sin(π-α) = sinα EvzOmyhvV  
KR1 Ar7D  
　　cos(π-α) = -cosα t4 Li/5~x  
Ga;a3Mz]q  
　　sin(π+α) = -sinα ]HJvnL1  
55* Yo\&w  
　　cos(π+α) = -cosα q7s8,iLw  
Xc@=a0$s_(  
　　tanA= sinA/cosA >W}I 'h!  
9 a %\pp  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ze+p +)  
Um]@u  
　　tan（π/2－α）＝cotα pLO>qk  
Z^-fpc!  
　　tan（π－α）＝－tanα 2Z1UqA  
+U/)dE  
　　tan（π＋α）＝tanα =VBtRIh3j  
c.YH El.c  
万能公式 `$l tD  
4S_<TOl@ds  
　　 vUc<.8C6  
|vvBC  
其它公式 ~\c weXk-  
'(1h#rK  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 4xJ@_  
9H t  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 rwkDkDQtf  
hMCGkfH@  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 [4&Y !sg>R  
oJY{[sLBJ  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 _ACEwl  
VnL63=)l  
　　对于任意非直角三角形,总有 <BN;ZU  
:.Q#|1@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5TB63Ql  
l=5wy  
　　证: #{%bW.  
K3O<Um  
　　A+B=π-C @gsz9<D1S  
(h!=7{  
　　tan(A+B)=tan(π-C) >rR?${`  
rq 072h  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) s o#OZaTXj  
5\xHP8  
　　整理可得 Lw,^2bI  
o6x-Io@H  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5U*Ua<aF3$  
[a" Y{?  
　　得证 8~k]ca b  
U@L[ 01  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 2yMbA- ,  
w9/fGt)X  
其他非重点三角函数 YIR)^W8  
$#|(#Cb*)?  
　　csc(a) = 1/sin(a) 7->%}NY6d  
= , F` *  
　　sec(a) = 1/cos(a) [g~CJ]dCJ  
\ p\ns  
　　 P`R.C6n  
rgypOP  
双曲函数 G,%5v|,'4  
( ]!Sup  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 j}>fe  
Hr3]?AlZY  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 7J.'\g  
?o! L56 l  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) !?] &:  
-OkY;b  
　　公式一： bcJ,Z9R  
D3K`q  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： a4P$.4M{M  
$;vv(YF\  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 7gy6r I  
3cD!X]9  
　　cos（2kπ＋α）= cosα :72kJ@<a  
EuuN  
　　tan（kπ＋α）= tanα x>DG[Z^s  
:x*]QrLAP  
　　cot（kπ＋α）= cotα fXzgYUz #  
6nYC'.b  
　　公式二： U CXcW^  
g6\Xg ) 3  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 6Df-35U  
NFoA@Vi4  
　　sin（π＋α）= -sinα Ats?/A,  
T"\^i?Z  
　　cos（π＋α）= -cosα TnF?e~ ]  
<4$}od{)8  
　　tan（π＋α）= tanα Y{ U)p5j[  
vI y<u  
　　cot（π＋α）= cotα .uo&:)  
<\b3W1T1  
　　公式三： fQZXf8  
`r 2=  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： =D>_(o]  
M_.6NX~>d;  
　　sin（-α）= -sinα |tGspdA  
vQBg 4  
　　cos（-α）= cosα L@]^]wY  
`'RV-  
　　tan（-α）= -tanα Vt[ J~x  
8|RSX|  
　　cot（-α）= -cotα |`3P75+A|[  
v!UfP,[o  
　　公式四： "$jk$.In  
Dw=8y{>O%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 06 a V  
^Q\l1  
　　sin（π-α）= sinα 8Or0iz[  
e] N')R#M  
　　cos（π-α）= -cosα e-BO '` %(  
H*XNh (sX  
　　tan（π-α）= -tanα r^NV2r' -  
:E-^y  
　　cot（π-α）= -cotα drZoD7J  
x3$(FC  
　　公式五： T% /SCP51  
MK(dXE=QL  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 4E8800Y  
a,bU[;%&  
　　sin（2π-α）= -sinα Db'6BN{~  
JkDQ-_  
　　cos（2π-α）= cosα !6-[1LM  
wTt#)(q^|  
　　tan（2π-α）= -tanα T -,{~3?#  
S46t-w{]  
　　cot（2π-α）= -cotα ?."m*oA D  
d8 .zm   
　　公式六： ?O+~zx<WP  
42a_wdW  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： e{%k>r@}q  
e:[hPOc  
　　sin（π/2+α）= cosα YfXM^QAe/  
66x&URqu  
　　cos（π/2+α）= -sinα 7 l\+ % 6  
%Ka ;{[0  
　　tan（π/2+α）= -cotα * <$C*'g <  
[Q~;zFZ_  
　　cot（π/2+α）= -tanα XWWDK[@Aa  
Girl]DL  
　　sin（π/2-α）= cosα e*g39z2>  
_it#=qW  
　　cos（π/2-α）= sinα i&S|!\l  
hm ~,Cju  
　　tan（π/2-α）= cotα >-o/>EU!)  
#N2 $YD@1  
　　cot（π/2-α）= tanα dcM #G4`  
RLJ"+>  
　　sin（3π/2+α）= -cosα \A4J$Gd  
IDyb]T  
　　cos（3π/2+α）= sinα 1W2"d p*  
Z$f-w Z  
　　tan（3π/2+α）= -cotα e L Q\2   
hx }P[X66  
　　cot（3π/2+α）= -tanα mMX   
}~]z1CPg  
　　sin（3π/2-α）= -cosα OR F?;^&  
4 :6g>z  
　　cos（3π/2-α）= -sinα m*H') f ?  
yJAKYg  
　　tan（3π/2-α）= cotα YRz]DnQrC  
N*Dj3V WH3  
　　cot（3π/2-α）= tanα 7H_ 8[O  
~'| Uym  
　　(以上k∈Z) F{  FG;  
i*X4c  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 |dK+!9 a  
lL nE4x  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = e*&jPic  
): 'v  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Bn] Lf7z  
*iUA/Ak  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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