日历

2025 - 1
日 一 二 三 四 五 六
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 
«月» 2025 - 1 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 $[m-<_  
'?lduBT  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 7Fn~ EN/J  
H&'Bjrj4V  
　　1、三角函数本质： ti1i9 -'i  
)b1c,OE  
　　三角函数的本质来源于定义 FnUTb:N36B  
hpo}X>j  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 1fOo6g-S  
oT:v*]@e  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 yiiU%x  
myG;r9fp&j  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： _Ea8 |  
&".,9:Ff  
　　推导： };]-72Sw  
r_!)d,@?n  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ~Ot Ad  
@a39>jY  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) _w:8X0!:  
!Dvz#gE,j@  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) R-/4+I  
m %Cr  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 K}"R@`  
\fei?w*  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?;eO4M +  
?"wka|]  
　　[1] ]\PaRZ  
9vA-Lz  
　　两角和公式 .rax@d  
k' E_ A7  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB G%^x  
"2AN(vuz  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  C3SVI Rw  
rk D^^8  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB dh0`m  
<"'gZ;  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \*KbS\1y*  
H0m}l Z_  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \G6xmZBpj4  
j-8 .]>  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) gw%&I  
9"[KR[CoR  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  0lJ@ >t5  
OX_.W/ R  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 2qmSkq `+  
b-O5PK!  
倍角公式 S0=:=3  
s\k9yN%@  
　　Sin2A=2SinA•CosA y m&E#t+  
)3RiL  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 &r[EG*2W  
Sr#|?nPO  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） v-$uq p8m  
1 /Fz)h  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） $(xRa8#m  
y~wsMVf1  
三倍角公式 N GXH0 k  
U0Mo$;b  
　　  yIOw\fA  
Ffof6KX/<*  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) k&^]B z(n  
%>JX#LkL=r  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) /n % ?eSe  
( ;;  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Pa6(ORC  
5`]/E$  
三倍角公式推导 HH?GRUm5  
*[|gP ;  
　　sin3a }oOZ:IL  
9sd'#+  
　　=sin(2a+a) (o8Ncy2  
|]Dks #@3  
　　=sin2acosa+cos2asina  "*9?m  
}Q D{)  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *yC>)o'f7  
A97c/_0XY  
　　=3sina-4sin³a 9M%;.v<25  
K0/_^<L  
　　cos3a u69ivLp&  
>TqE)N*n3  
　　=cos(2a+a) f*[Xqf5  
Q0_&NuV|g  
　　=cos2acosa-sin2asina #IwRc_:  
68\}#VE%  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa `Y T*A@  
0%c r370L  
　　=4cos³a-3cosa "GP}_/&  
mTK6~l  
　　sin3a=3sina-4sin³a \KU,w4%  
}< Q9T3&~(  
　　=4sina(3/4-sin²a) a0[&I*^l]  
\YD,[j:  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] AydW3'Ga  
nMCXpH@9$  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ` k/9,95-<  
WyT#{9)  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :/HXte   
[` &0>!x/  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] A|^|*B  
!}k z8~  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ua@$gsc[  
kE"_.\j5X  
　　cos3a=4cos³a-3cosa +OSGbY8  
.%hG-*  
　　=4cosa(cos²a-3/4) zQL w;  
eYaf+KX  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Yp$X<a  
N/!!7bon  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) `H-3B6(ic  
W7)yW)*  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) @ya%I7"  
|'Lzv~&c4C  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @uLKNCE  
hI%M(<  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) \9h-5 Ey  
MfDdj((kq  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ="Ziq`  
}^u$s   
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =82Q,u&f~  
$,1-(+fL  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) <_|YS t  
S*#{*{  
　　上述两式相比可得 JcIr:n,  
eN RqvNE  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) bnR496  
;+eg9Ycy  
半角公式 M3CO7"Oa  
CXaYg3&  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); }/z 6T(  
@p6w!~6  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. hwj4E CYc  
H0M2sx:  
和差化积 71Y 9l]C  
QnY=b%\  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]D0 `0>I  
9X?.,D)4  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :e8%iXr=  
5}+_<_ NC  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] RA~Jg`  
cLWY  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Ji+dS(8A  
y14@wCSr  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 9%^>koD  
AF=7>  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) kRu R a  
z }<`3uY  
积化和差 0*q,Z'  
Wx~e+E  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Z##UOR'C!  
[Zkn;  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Y @a . \  
h:r &821  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ;?n8;C*X[  
Dxa^I,d[  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] <#tS7Sq  
+,6</  
诱导公式 ,+2n&@  
YD,yE.)AM  
　　sin(-α) = -sinα I w s4~8Fv  
`*4$I%  
　　cos(-α) = cosα 'ZY"1IE9  
QF{urG#l  
　　sin(π/2-α) = cosα 9UsgQo  
XlrAus{Q{  
　　cos(π/2-α) = sinα 5+1soRe*K  
[/k5+pzI  
　　sin(π/2+α) = cosα oas4R8#7  
rM7sTQ-  
　　cos(π/2+α) = -sinα tIh[t|Kc  
*bBylnsW  
　　sin(π-α) = sinα !o f|.n^"  
i37r 8d  
　　cos(π-α) = -cosα _3X sKv$"  
{'e=a  
　　sin(π+α) = -sinα *;=Q1*  
l,l{<n  
　　cos(π+α) = -cosα 9Z%cZTEGY  
aS*D}1u  
　　tanA= sinA/cosA ToN64'  
q@Xgl%+[o  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα n"`Fw ,{k  
yW=;pL="  
　　tan（π/2－α）＝cotα g<[M|Bk  
8b<={_  
　　tan（π－α）＝－tanα ? "NMN$?%  
\Gb1  
　　tan（π＋α）＝tanα ^X,L3HKy  
?`Na  
万能公式 b&zp]Dy 1}  
8:-19Hz[7  
　　 T6T.v** l  
 wrAYh  
其它公式 )etSh!3  
)HE|D:  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 1Did&{  
nXldq`4  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 'h jggw  
++&qs/J  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 te bBl  
6o usZD %  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 !3T|3Gsb  
KA)qlE}~  
　　对于任意非直角三角形,总有 cF.8RTIF[  
 Bx%?0  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC N{XW[c>w  
<= 3#au"  
　　证: +P*w. l^  
{x o  K  
　　A+B=π-C cT)a +?-9  
=Z,>pH<Q  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Q<NyU e  
96d"+b3(XT  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) !m\ dTT~|4  
R7jm $va-  
　　整理可得 :([[@xy]  
)_@ D@_u*  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?Fr`NnY0.s  
BsD2t  
　　得证 `Ts&#7z  
)wUoBplB  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 _i&.<M6g5  
(52mtQ~/D  
其他非重点三角函数 H=?U=OVW}  
,RB\l.yJ  
　　csc(a) = 1/sin(a) x6X?er3Q  
d0C%"i#7}O  
　　sec(a) = 1/cos(a) RJjJ2tLb  
^4hy{_RV-)  
　　 SBY9*Ap#  
l}]c/b]d6  
双曲函数 si$hW  
~+p[Y~\  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 c&Y cj"J$[  
`+Q4,9  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 |{BzPL9?P  
+`@S\"d+  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) dX HR4Nn  
-|V"J0 )w  
　　公式一： D;MDM>O\(  
""& aj+?k  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： `{9kQX  
sfX Wxqe  
　　sin（2kπ＋α）= sinα fiAKp5 :A  
"]2$p*TY  
　　cos（2kπ＋α）= cosα sloocG-q  
y.#X5|t ^)  
　　tan（kπ＋α）= tanα ],YD C~zR  
K/p JvQlB  
　　cot（kπ＋α）= cotα QOxw/0:j  
P0@U!|  
　　公式二： l_a$ (%r*  
XW~#B  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： go\w~S  
IQ$3_w6zt  
　　sin（π＋α）= -sinα ,}Y7_PgS  
8A$ y5n  
　　cos（π＋α）= -cosα @>yip64  
EN$Fi55  
　　tan（π＋α）= tanα i>M o+~UV  
$VD]VC  
　　cot（π＋α）= cotα J&mYd0  
s}0%#eQN  
　　公式三： ;w0hnCZTp  
hQDkDm1\&  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： )' {*TuM  
vVK7[imk  
　　sin（-α）= -sinα yY^V~vQ  
=,i#M#,  
　　cos（-α）= cosα NAb, lJ6  
n)4cB#&  
　　tan（-α）= -tanα ~SD` Gm  
]qAL0j0_  
　　cot（-α）= -cotα am\-t;Q  
60Ai ~  
　　公式四： Q1KG  
HD5)eRtEY  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： "F1Djm].  
-iTlJ0q=W  
　　sin（π-α）= sinα '[q[  
?E 6L Fq  
　　cos（π-α）= -cosα D%,j?@OJ#  
CAgL4u  
　　tan（π-α）= -tanα aJj~y+E19  
[,zC3_A  
　　cot（π-α）= -cotα )rg{b: 1&  
v )b u`U3j  
　　公式五： 4{7(w[Y".  
:TP>e.f[J  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： A\]uy``c  
VHmW6LcS  
　　sin（2π-α）= -sinα >sYy+s #  
] 8M  
　　cos（2π-α）= cosα adMB$;]G~  
t5_!&Abh  
　　tan（2π-α）= -tanα vkoUOnD  
{9\)O>w P  
　　cot（2π-α）= -cotα AVqM[H  
q@~ $D  
　　公式六： (=<_^h+  
[_%=M},  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： XT73I_  
XUM1?kx  
　　sin（π/2+α）= cosα ^3(u(t  
#z3iKR3{T  
　　cos（π/2+α）= -sinα #]\u|nl<  
ilX9% @  
　　tan（π/2+α）= -cotα v{g)[#z#  
I }:QBGu  
　　cot（π/2+α）= -tanα .oMUv`*=w  
L^lF\HC&  
　　sin（π/2-α）= cosα m 6o1Z T  
dc>HtGn*?  
　　cos（π/2-α）= sinα b;# 7 2a  
`DjaP42pqx  
　　tan（π/2-α）= cotα 6A<s$R[  
phqzx=kB\  
　　cot（π/2-α）= tanα gx,y:Y  
MhdG<,kb+  
　　sin（3π/2+α）= -cosα d x@*BG  
_5ci+oyu-  
　　cos（3π/2+α）= sinα Ya~=,=n  
F6B9\? h  
　　tan（3π/2+α）= -cotα =.M2%2Hu\  
HF]yc~;[  
　　cot（3π/2+α）= -tanα  8|he  
Zq`=*@H,  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ]C(1dH*gf  
jo/)twsPH  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 9M_WvAMuA  
E"vo\ABt  
　　tan（3π/2-α）= cotα b9n?LU `S  
HeXRux8I2)  
　　cot（3π/2-α）= tanα lR$*_%-9a  
}v?.{> ufW  
　　(以上k∈Z) 5mVp<Pu  
OR},nQhNN  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 5QS |Ll  
4}\(2x*^n  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = rWu4c<jT|  
Mn`x%;  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Ey|W~k;\  
(]#XNkz_<  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15321) |  收藏