日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 <]5\!.  
:  U]Z ,  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.  0'rr  
0Q_3 ~X`  
　　1、三角函数本质： aYYX2\P==!  
Afp_m%x-,  
　　三角函数的本质来源于定义 .%);bs0dc  
.PDJP  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 = X*A_<z  
2xrTN D&  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Fi?!U =K  
d h,k"Iz  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ^1fE@(fY  
4uxx*nX  
　　推导： cfv=A ,I  
G9`OjjrE  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 4A 2\Lph 8  
rJ>z-j5(<j  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 0Q@&B9XKQ  
^+O:#Q5FF  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) dj@ | ^,H  
b;/h_}d  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 P9h+_E  
Vd(8S.ZN  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） zy 2$^P+9  
, npkf OG)  
　　[1] (P{KwB>h  
`v Es{  
　　两角和公式 dT'{SG?K  
pi(no N{  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB =Z1_z%fHS(  
hSDKvc1  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ]!!o[{9p  
keK/ULsu6  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB q 7B<c?8S  
hU{y9 |u  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB r}bFWENIT  
gpeQ+!O,  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) |/s( S#6  
982\XH=AQ-  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) /lrJC-e@  
dKgpwgh  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  lS!{l|O7j,  
,kO&>30B  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) y>X9(b!p  
e+#3J?uUP  
倍角公式 -9=^0fW3  
 $2]Lj k4  
　　Sin2A=2SinA•CosA p]@v  
`Vd8  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 bkjz6W7|>  
aR{4+4+k}u  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） JQiclXtW  
_n: <:*I_  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） .WqK_R1  
'L !B+-Y ;  
三倍角公式 [f![*g( :  
$O>Uoi`  
　　 :p4c%Up 2D  
C[|u)  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) \*~.9{W2  
~)cI  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) l~ c P c  
3%b\DjN  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) /!D2gK  
e6w@u,z  
三倍角公式推导 Ct`Cd=M  
SK{SjzJej  
　　sin3a I bwGw]%-  
=7ln<kG  
　　=sin(2a+a) L'!0_PxZ  
,>/w7-%P  
　　=sin2acosa+cos2asina 2 9   
[p"N(a<  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ?tyn'Hp`p3  
69AK! Co  
　　=3sina-4sin³a \Us0Fc<x  
u\,r3x~z+  
　　cos3a is<(/"M^  
2U6 1-  
　　=cos(2a+a) ;$j=W_NCE  
pO I^`  
　　=cos2acosa-sin2asina _zKoS@)AE  
x2Mq[Y5^  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa q=vrI uW  
}Btn"m 4  
　　=4cos³a-3cosa gWYIL${4n  
/wXBO;>  
　　sin3a=3sina-4sin³a Y!A[q  
fwc3 #9#  
　　=4sina(3/4-sin²a) E0_Y='__I  
2ehv)?hk  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] AgTz:  
8|R6   
　　=4sina(sin²60°-sin²a) B; Cs.G-^  
Z/;#V< e  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) O*$n 9!w1  
#Ks}MN  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Y2 v}[x  
v 2^mp^  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 'bQ&np  
y87J #='  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ,>-WL  
GvxV"3xAQ  
　　=4cosa(cos²a-3/4) m}W%sZ:G  
\Rf?%)$]  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] FDcX&Jl`  
]+t #D H  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) B B`!eh^Q  
%DH}:x}  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) %z||JEry  
RseCC`2uO  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Ta\o?NXHg  
SRH ?@{ML  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 49piQin  
@ lfkQ<  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]  Sk;U?(  
(E1EMe-YN  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] &rH@<W '_!  
s6Zx_V=}_  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) {w;1{  
y S:P;<  
　　上述两式相比可得 'lxc:m\T  
 Oj-OxMZ  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) $ <|8Br.  
LbH>d0E  
半角公式 \EBy*  
*ClIs}  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); S!WW*R>R  
Uo%MZ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. HoI2xv`  
! Je{(w  
和差化积 Xm ck4n  
%K<ln_5nA  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] yLj&8BTZ  
p;}_Mxd  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] XAa2ttq  
qq7,tHK  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Ea` fe$A  
}XN&V~  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] wBr9mAyE2  
Gfne5~  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) r5GfV||u!  
bz^\Hxu3  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) pHBX`Y7Z  
|U-mY" :  
积化和差 {%+/ rE  
UKh#Zs  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] K Ae t^~  
LIqQhfRS  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] fn ~m~(  
#*W,GPm_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ' csBi.]O  
"D`r&Mt+  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] =2L'i|  
5a2%Ty//%d  
诱导公式 a m3d$J=-  
#S.hobzxl  
　　sin(-α) = -sinα z3Hln];  
c cc8%| a9  
　　cos(-α) = cosα .I}02VOKE  
{~A%[\.C   
　　sin(π/2-α) = cosα x,7 )d9#vH  
<em)U{$&  
　　cos(π/2-α) = sinα ./+.?Gi+  
qhI'<A{whu  
　　sin(π/2+α) = cosα ;CToY]]  
 x+G%UMX{  
　　cos(π/2+α) = -sinα v 1/t=  
M`*y{0kA  
　　sin(π-α) = sinα P5hCrVf  
JBNx  
　　cos(π-α) = -cosα b9 B Q  
3B!LW3F  
　　sin(π+α) = -sinα Yevp0:d{  
@[41#])mp*  
　　cos(π+α) = -cosα OlLT"lvNT  
x. [.?O  
　　tanA= sinA/cosA "pa`]#$   
"\G<(~spo}  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Oj(26LX5  
n.ty<?)2  
　　tan（π/2－α）＝cotα 0FLEE,O  
ZpT| {  
　　tan（π－α）＝－tanα % I;*?  
XKk28Y<  
　　tan（π＋α）＝tanα <_ZX y  
gbvqdrcJ  
万能公式 1H. 7 ,g  
@0N&vnV  
　　 D[yh4N L  
<^N=)"x*A+  
其它公式 $DTrY;.C  
|[%~F!v5z  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 1c_+*V(Ih  
#C} Q,^~80  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 _+m\KJ;D-  
?,z BR  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 HPmvFiRi  
\7+a_LHep  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Xv|p;l2  
e 5.8q  
　　对于任意非直角三角形,总有 /y> K>'c  
$/uyX29  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Fc>vPO;  
60,JA1M82z  
　　证: H^ Cy/~  
sW=#h$p  
　　A+B=π-C 0v, R  
f",`['$7Q  
　　tan(A+B)=tan(π-C) < QxFeDWj  
MpA z9U  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) W!@5%$o  
CPA#='n  
　　整理可得 -4(/@yd~:  
Lp&4v(o  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC a,9izu~  
ww"@n,o N  
　　得证 %4Q !nK  
Cc~p,  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 R5g^y0D,b  
w(poYPK-w  
其他非重点三角函数 oesH [,zU  
jk4S :$  
　　csc(a) = 1/sin(a) (L <lb;mN  
N%t^h  
　　sec(a) = 1/cos(a) Xn1. &v  
>/NUI"Q  
　　 nU/~T{q)  
i:X.s+R  
双曲函数 fn}eI~  
k%MWfwjnc  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 |$ "w[   
sU[sT&5  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 P1e+Hu t  
ib;xk3o  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Qbl!Z\8g  
Umak,_1jZ  
　　公式一： cqVk %G\  
`/$B:vG4  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： VId #6oV  
bF0VD}p+W  
　　sin（2kπ＋α）= sinα =u]$- yMs  
l/C>b]e  
　　cos（2kπ＋α）= cosα &j45Gi'm  
/iDrPKWq  
　　tan（kπ＋α）= tanα 0`/0v0B= N  
C=.uP7t@  
　　cot（kπ＋α）= cotα [KZtQHj:  
]oN[`[sa  
　　公式二： =,x +$4c  
C-1^\e@a  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： G8+L`"/  
HBr?KqOH  
　　sin（π＋α）= -sinα 5"=d_T'  
vY0{d 7  
　　cos（π＋α）= -cosα 6 {a)7*  
|,K}G~ j  
　　tan（π＋α）= tanα gI 2!%C:oF  
x29] j  
　　cot（π＋α）= cotα Bc [jjx  
S$kv1(sh  
　　公式三： eOrp{P!  
J&b>|aT-Wj  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： T)r`u  
6+#DOyZ  
　　sin（-α）= -sinα !`YOOCy  
m q,'  
　　cos（-α）= cosα >kT'32:  
bRf^4dM  
　　tan（-α）= -tanα gg^cLg  
J42:D S  
　　cot（-α）= -cotα # =Y_W  
I 'L#0d  
　　公式四： ^o=s*h  
Iz| g\oPW  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 7&&a( g  
zVN-F  
　　sin（π-α）= sinα W 2$65H4~  
3oX%Bbu  
　　cos（π-α）= -cosα KG~#%i7S  
9Q>$g5[oL#  
　　tan（π-α）= -tanα .cIK*'q )  
#i%'  
　　cot（π-α）= -cotα :S}|~/6 W  
5d\!~>={X  
　　公式五： _7,X;  
]<\+T?7  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： bb0}oGpH3I  
1wA^e% q  
　　sin（2π-α）= -sinα wbtVP{M  
iKR}]hd  
　　cos（2π-α）= cosα m7_=zbiU's  
P[m#tFN  
　　tan（2π-α）= -tanα grM@jN D  
K*ZE+FN"  
　　cot（2π-α）= -cotα X` X  
<.bX2K-F  
　　公式六： rnxJ}3MowL  
]7YP#3-_'  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： "h+r)cQ)  
<6- "LNuJ  
　　sin（π/2+α）= cosα ZnXeajj'  
X_kqAOm  
　　cos（π/2+α）= -sinα L3?1 x!YOg  
0`',I1B  
　　tan（π/2+α）= -cotα  c;^ Gs{)  
&UL6d4* l  
　　cot（π/2+α）= -tanα [j8O9>jiv  
)Je<#9,xt  
　　sin（π/2-α）= cosα BG&[0-  
\?%CD<9IU  
　　cos（π/2-α）= sinα )mp b$N=  
 >Gm5)R  
　　tan（π/2-α）= cotα 5 >)p~8%  
pztbKg  
　　cot（π/2-α）= tanα 9um  
,8=969$b  
　　sin（3π/2+α）= -cosα w#oUWb   
+;\,@U  
　　cos（3π/2+α）= sinα =K!Zy&wv  
:N4L<$7E  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Aw*EC8F  
HF4\FMM0C1  
　　cot（3π/2+α）= -tanα P3J~]@K  
HU6J;J"?  
　　sin（3π/2-α）= -cosα |*(y1zB  
fl \G>I  
　　cos（3π/2-α）= -sinα X%l><DCH  
{]U8*{   
　　tan（3π/2-α）= cotα GfFXHO"amL  
l NCE)CUk  
　　cot（3π/2-α）= tanα v@^xLe5_<  
y:$$DN&  
　　(以上k∈Z) ]"ey&6 Y-  
!m"![MV  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 3TWan{Xm  
tPw M=v  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = J )dNb-  
Lo]ly(5^{  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } !f3;kJ)$  
c:"LqA<*i  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15381) |  收藏