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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 X._^! I  
rnb%qB4Q<Y  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. -\h`tR2&(Q  
hnW**k @  
　　1、三角函数本质： )|M=m6juo&  
YYaO0:(y  
　　三角函数的本质来源于定义 C&,SCP>M  
_?e82"RS  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 " )T<_?>  
5&jRb.Z#,  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 FGSCv%c  
>aITPaWn  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 1@|-4+E  
*R b(6D  
　　推导： Vr{r{ 9-  
q9!)c3  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 9S )kXX  
7;kzJV  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) FTX9J  
GO [ ZW Fa  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 4R; <Yel  
!6"|kZX+r$  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1|QqG ekb  
SVJp6ouN]  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Ra*_V6?tO  
UDG\\}Ch{_  
　　[1] bX|Tzf>jU  
%9+ZV,I  
　　两角和公式 \zNpCs  
tS$J5; 8G  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB k`)vv;$Q{  
XHn=v(C  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  F2 c0BL  
hcm`%d  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Q~t6(M ]`b  
([GVJ(  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB /5 8B0/9  
p$s)\iW?LX  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 4r{xdiOB  
`=mG;O i  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) GAK#/C-  
eR+@BL-FE  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  *&>T] "c(P  
Fi~.f&  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) S2yqbBR3e'  
L?-.Qk+|  
倍角公式 U8KztEQ&  
WX (4}  
　　Sin2A=2SinA•CosA @~{x{Zd  
Wc2 =e?  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 I"aBbB  
xRKJwDgG(  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） (3MkX47  
Hs~\68  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） `[JvW &H  
jLn8*#  
三倍角公式 y|-6&?D$  
\^N%h1p w  
　　 w@@fJj{  
iPg0sK :i  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) !Z=kij)cN  
n`#84bN  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) #>9HHvrxs  
vL?c>!'  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) CQL:Gc$o36  
>0/o}&-[  
三倍角公式推导 K]X5b7t#  
uU_<8j-  
　　sin3a t]/!Q8pBT  
c<:F(MnyCA  
　　=sin(2a+a) gG FuvkY  
}S@^53N4  
　　=sin2acosa+cos2asina )z;,F^  
^#k<UWn  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 6JXbl&m  
}< 8eA}"t  
　　=3sina-4sin³a HO71Bp+|G  
wa: A^  
　　cos3a ]<8 ,= 8k  
LK<QVcE  
　　=cos(2a+a) 5IcmsRn}  
LP}}['X:D  
　　=cos2acosa-sin2asina $LQIA6ab  
9uR==  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa C#d,EM2V  
"^jQhllAh  
　　=4cos³a-3cosa F.7$W{CVF  
|r][o|  
　　sin3a=3sina-4sin³a Y3r@r |  
SN"g~R@z{Y  
　　=4sina(3/4-sin²a) :f(v]^P  
; 1$<~b(  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] YdQq \qp  
Ca~<*"dv,  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) . LX!pN  
PngiHa1*  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) '9V$i  
bn5 5x#~  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 5&W@#cW  
S:Sj)U5P  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) CQ fYysz  
iC_ p]k  
　　cos3a=4cos³a-3cosa m4 Ok|y0:  
; q/ i?U@  
　　=4cosa(cos²a-3/4) .jWeX7${  
S7)_A/t$e  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] WO1F=ny  
<w^Vvmj  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Mh5x K  
X}_L kf:  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) '>Zedwj!Y  
G- bTob)  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} .t8$ 4o  
X|F d?_6  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 2uSn1xqu  
C R<Y\K8  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] C3s5b1$G  
h(<+26dJ@0  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] $33M4mAzE  
FBeh0Uz1>  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) K2XQl_]I  
;"gX{tq9  
　　上述两式相比可得 ^3)\t]m^  
d>(Co}5  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) q`gF5xw8  
@IM }3eq  
半角公式 YucVOrQ  
J!zZp9  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); yuE:P #o  
Jlfdt ,4=  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. q\kK8T  
f!Q1/d  
和差化积 1CN./] Qa  
kAklT8x@  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3n,J,w(  
 Z ]RE`&|  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] JEx9W5V  
X\b[g3ch  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] R=v#I/bq-  
gk~d@o  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] chOqeUL7^P  
DxWr!Zyj  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) # U|85nQ  
0l'.&aJg7  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $ l*L@*$  
luxmsRs  
积化和差 7C.*wfLn  
K^uV"V  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 0"[{O0}*T  
Q9M Ey^0  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] #\^Aj@b  
E;Nfz..$  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] VUM^>&?<  
vS\nTm  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] a:yLa@i  
'pUS`j,},  
诱导公式 < KG\f^%S|  
:\BF(V-O  
　　sin(-α) = -sinα !7>7d%xy  
)^[ LpFok  
　　cos(-α) = cosα A,vg~-,iL  
6x{6aF+@  
　　sin(π/2-α) = cosα e=10h*w  
 vs-r|>  
　　cos(π/2-α) = sinα =..pH"A,  
Dy|DDCB  
　　sin(π/2+α) = cosα OS[C^#?*7  
<]tZxd=|L2  
　　cos(π/2+α) = -sinα x}nhW^ ?  
KljY>p  
　　sin(π-α) = sinα M>EsJn Wd  
?=#c!0qrO8  
　　cos(π-α) = -cosα nP4F!Z`  
R%=Lq/<JFI  
　　sin(π+α) = -sinα ld+TdkE/  
Ljo(e6H{D  
　　cos(π+α) = -cosα T@,zjvE V  
Si(c 3(  
　　tanA= sinA/cosA 5rA1'~[>H  
9,nq58x:M,  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα xUHn46  
:^Yws  
　　tan（π/2－α）＝cotα H {_K0"E  
XN_zD8o(  
　　tan（π－α）＝－tanα hi2(N\13n  
cM?hr!2&  
　　tan（π＋α）＝tanα ;-(e 7M  
g9wr$ b  
万能公式 dS |/jJ:J  
X<;N<N>  
　　 |U,FWuRc^i  
S .o3>  
其它公式 3z)rZHWK  
U:^89aF  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 dG\(+"(;\  
gj N#pjO  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?E:7K  
v=h "f"  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 / rd<j-m'  
N ]o7,Pi]  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 nK,2T[M:  
!FN%|;VWf  
　　对于任意非直角三角形,总有 EoRzw"rA  
uMwR S6 [  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `OwU~ '  
s&  uj5  
　　证: wNh~^5w>o  
)tesWF  
　　A+B=π-C C>3=(D~  
S)/njc"  
　　tan(A+B)=tan(π-C) S#i-:Zx  
(99$ord  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) f }U`l6  
RM7SZ=V5  
　　整理可得 sv+M<v;>}  
, A[4$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC v] P-Y tI  
? ROv{3<q`  
　　得证 =*{_y%"M^1  
>O"Da  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 -( =Qsi,xO  
7j> P;I  
其他非重点三角函数 ;`8;5[k]  
#rd^c EEJ  
　　csc(a) = 1/sin(a) jVD}Qm  
jc<- cpLF0  
　　sec(a) = 1/cos(a) bJ<4<n<m  
'oE :iF  
　　 u=#b~Fe^ m  
X]=4,|[T  
双曲函数 b[% ttL`  
w_=<J.giu  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 8nh/5Xvc=  
h~>#P)0,  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Jy{}"o$W  
 1$5HQ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ;| :lF^fV  
CLGcAspw  
　　公式一： fL_;0 1*H  
HB=!&QK  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： AUJ" Sg(T  
aOPmQ`o  
　　sin（2kπ＋α）= sinα aD'UI \  
HK ?udr5  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 7idDuRg-]  
%ZuSE  
　　tan（kπ＋α）= tanα ASes%QE{o9  
69s5d]'"  
　　cot（kπ＋α）= cotα Tz_0)odB$0  
,gUN6xTh  
　　公式二： {f [mFl  
_%p_z%@g^  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： j;ix*S, G  
5D~d?bQ^qK  
　　sin（π＋α）= -sinα j$#1 )5g_  
oY+{5{",  
　　cos（π＋α）= -cosα KH?E?ZF>&  
Q8}F i).v  
　　tan（π＋α）= tanα ^TS? Ej  
?hDU& _pE  
　　cot（π＋α）= cotα nCh\ 3  
xoHpON i=  
　　公式三： f;f]M9=  
ZO{N3  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 7C0eK  
H/"P7hZ  
　　sin（-α）= -sinα $w`n)J  
bG?/5o  
　　cos（-α）= cosα UN^G@  
@0{]SHb0=U  
　　tan（-α）= -tanα /f*O|$6cb  
`M s#5[  
　　cot（-α）= -cotα {I<i-  
V x\"Er<  
　　公式四： v6#j\}T1  
XZZjNf  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： u]t?}$6>  
9V}J~  
　　sin（π-α）= sinα uItZJK9  
jxtVKe%B  
　　cos（π-α）= -cosα slO_$#  
z> .iKE_d  
　　tan（π-α）= -tanα (q916n3u  
fu<{EW;M  
　　cot（π-α）= -cotα `@Wc@n=  
Z{EIEapv  
　　公式五： K R!g%GG   
#qKr(/&  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Ig<!626Q)  
u#JmM]S$  
　　sin（2π-α）= -sinα = L("P6  
SCokxSI  
　　cos（2π-α）= cosα }F=pyO  
5,) vE0  
　　tan（2π-α）= -tanα ,Qo65%z  
TgCORSaJ0  
　　cot（2π-α）= -cotα IV7P~WYBc  
a+9s?}?  
　　公式六： !avFT  
Xby_LIm 5  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： &SsepR|YN]  
5_t 518E  
　　sin（π/2+α）= cosα kY'`s^J.k  
YO /?}8 M  
　　cos（π/2+α）= -sinα A1 ,a  
[MJ;G!(  
　　tan（π/2+α）= -cotα 88j'}"k<  
heEHn|L  
　　cot（π/2+α）= -tanα /:gR82\->O  
4KQFc  
　　sin（π/2-α）= cosα \Lga'I"  
@H&>^&zL{  
　　cos（π/2-α）= sinα ^:qxQd?q  
\/`vdA  
　　tan（π/2-α）= cotα Tj~7qeiR  
/]cm:J*  
　　cot（π/2-α）= tanα =(*s^]D  
7-z=@NuKQ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα }33tSI*[n  
gpn/2Kj)  
　　cos（3π/2+α）= sinα 2=ZP"FYw!  
>b(;y+Z#.'  
　　tan（3π/2+α）= -cotα #XT8+8g V  
zJQ20|N  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ?[}b'NA0E  
J0fmV^^  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  4^G JV]  
HE/05-2&;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα h!}KCJKje  
)s`'IW__  
　　tan（3π/2-α）= cotα 38|Z0]  
ck%,i7p  
　　cot（3π/2-α）= tanα ^_DGT=<  
(vz`@;>U  
　　(以上k∈Z) r%v&=_  
6)pTkA/GU  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 6Wfb%2(H(  
%=o{`K%N  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = IY+lvL9E>d  
,nV1eQ3W  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } (B,LUGT  
QKtZg}?]  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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